Ejercicio de examen, calculo en una variable

En este articulo les traigo un ejercicio que puede aparecer en un examen de cálculo en una variable, y por supuesto vamos a dar la resolución con explicación.

Probar que la ecuación x³-3x-1=0 tiene al menos una raíz real en el intervalo (1,2) y aplicando cualquier método de aproximación, obtener su valor con una aproximación menor a 0,01



Resolución
Lo que debemos hacer primero es analizar si es continua, por supuesto que no en su análisis con los limites, sino identificando que clase de función es.

Como vemos es una función polinomica y por lo tanto podemos asegurar que es continua, y si es continua se puede derivar. Y de esta manera con solo mirar y sin hacer ninguna cuenta ya avanzamos en el ejercicio.

Ahora bien, ¿qué teorema nos garantiza al menos una raíz? El teorema que nos garantiza al menos una raíz es el teorema de Bolzano (en pocas palabras este teorema nos dice que si el intervalo es continuo y los extremos son de distintos signos, entonces quiere decir que la función en ese intervalo corta al eje x, en próximos artículos vamos a explicar este teorema)

Calculamos los extremos:
f(1) = 1³ - 3*(1) -1 => f(1)= -3
f(2) = 2³ - 3*(2) -1 => f(2)= 1

Como vemos, esta función tiene al menos una raíz real (y d esta manera ya contestamos una parte del ejercicio)

Ahora nos pide que apliquemos un método de aproximación para encontrar la raíz, por lo tanto vamos a usar el método de Newton (también sera explicado en artículos próximos)

Tomamos un valor cualquiera para x (que este próximo a ser raíz), yo voy a tomar el valor 2, que como se ve en la imagen de la gráfica, esta próximo a ser raíz.


 Usaremos esta formula sucesivamente, xi son los valores que va tomando x, en un principio xi=x1=2 (es el valor con el que comenzamos), si calculamos obtendremos x2=1,88 (aproximadamente) y si seguimos calculando veremos que nos volverá a dar 1,88 (disculpen que no hago los cálculos, si tienen duda y necesitan que ponga los cálculos editare el articulo para hacerlo).

¿Cómo nos damos cuenta cuando llegamos a la raíz?...nos daremos cuenta cuando al aplicar esa formula(método de Newton) nos da siempre el mismo número (ese valor que nos da, sera la x, que en la función polinomica nos dará la raíz, o próximo).

Como se ve también tenemos que derivar la función (que sera el denominador dela fracción), la cual sera f '(x) = 3x² - 3

Y con eso ya esta, ahora nos queda calcular la raíz que sera f(1,88) = (1,88)³ - 3*(1,88) - 1 nos dará aproximadamente f(1,88)=0,004.

Si te gusto, lo entendiste, comprendiste y aprendiste, ayudarme a que muchas personas como vos puedan aprender con este artículo, compartiéndolo en tus redes sociales y no te olvides de seguirnos en nuestro canal de youtube.

Comentarios